Алгоритм Флойда-Уоршалла — это алгоритм, используемый для решения задачи о кратчайших путях в графе. В частности, этот алгоритм позволяет найти кратчайший путь между всеми парами вершин в ориентированном или неориентированном взвешенном графе.
Идея алгоритма заключается в том, чтобы рассмотреть все возможные промежуточные вершины на каждом шаге и обновить матрицу расстояний между всеми парами вершин, если найден путь через текущую промежуточную вершину, который является короче, чем существующий путь.
Алгоритм Флойда-Уоршалла можно реализовать следующим образом:
1. Создать матрицу расстояний размером n×n, где n — количество вершин в графе. Изначально заполнить ее бесконечностями (если между вершинами нет ребра) и нулями (если вершины совпадают). Также создать матрицу предшествующих вершин размером n×n, которая будет использоваться для восстановления пути.
2. Пройтись по всем ребрам графа и обновить матрицу расстояний и матрицу предшествующих вершин.
3. Провести n итераций по всем вершинам графа и рассмотреть каждую вершину как промежуточную вершину для всех пар вершин.
4. В каждой итерации обновить матрицу расстояний и матрицу предшествующих вершин следующим образом:
- Если расстояние между вершинами i и j короче, если пройти через промежуточную вершину k до j, то обновить расстояние и предшествующую вершину:
distance[i][j] = distance[i][k] + distance[k][j];
predecessor[i][j] = predecessor[k][j];
- Если пройти через промежуточную вершину k не делает путь короче, то оставить расстояние и предшествующую вершину без изменений.
5. В результате работы алгоритма матрица расстояний будет содержать минимальные расстояния между всеми парами вершин, а матрица предшествующих вершин позволит восстановить кратчайшие пути между ними.
Алгоритм Флойда-Уоршалла имеет временную сложность O(n^3), где n — количество вершин в графе. Это достаточно эффективный алгоритм для решения задачи о кратчайших путях между всеми парами вершин в практических случаях. Однако, если граф очень большой или имеет особую структуру, то возможно более оптимальные алгоритмы.