Как получить для обработки в методе значение из слота формы?

Для получения значения из слота формы в методе вам необходимо использовать события и пропсы.

  1. Создайте форму с использованием слота, передавая в него необходимое значение:
   <form>
     <slot name="myInput"></slot>
   </form>
  1. Внутри слота определите необходимый инпут и добавьте привязку его значения к пропсу:
   <div>
     <input v-model="myValue">
   </div>
  1. В родительском компоненте, использующем форму, определите пропс для получения значения из слота:
   Vue.component('my-form', {
     props: ['value'],
     template: `
       <form>
         <slot :myValue="value"></slot>
       </form>
     `
   });
  1. При изменении значения внутри слота, создайте событие и отправляйте его вверх по иерархии компонентов:
   Vue.component('my-form', {
     props: ['value'],
     template: `
       <form>
         <slot :myValue="value" @input="updateValue"></slot>
       </form>
     `,
     methods: {
       updateValue(event) {
         this.$emit('input', event.target.value);
       }
     }
   });
  1. В родительском компоненте, использующем форму, определите значение и обработчик события изменения значения:
   new Vue({
     el: '#app',
     data: {
       inputValue: ''
     },
     methods: {
       handleChangeValue(value) {
         this.inputValue = value;
       }
     }
   });
  1. Используйте форму и привязку значения в родительском компоненте:
   <div id="app">
     <my-form v-model="inputValue">
       <template slot="myInput">
         <input :value="myValue" @input="$emit('input', $event.target.value)">
       </template>
     </my-form>
   </div>

Теперь, при изменении значения в инпуте формы, оно будет передаваться в родительский компонент и быть доступным в методе handleChangeValue.