Как работает данный алгоритм проверки числа на простоту и какой у него Big O??

Алгоритм проверки числа на простоту, который мне предлагаете рассмотреть, называется "простой перебор делителей". Он заключается в том, чтобы перебирать все числа от 2 до корня из проверяемого числа и проверять, делится ли проверяемое число на каждое из этих чисел без остатка. Если хотя бы одно число делит проверяемое число без остатка, то оно не является простым. В противном случае число считается простым.

Пример алгоритма на языке C++:

#include <iostream>
#include <cmath>

bool isPrime(int n) {
  if (n <= 1) {
    return false;
  }

  for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++) {
    if (n % i == 0) {
      return false;
    }
  }

  return true;
}

int main() {
  int number;

  std::cout << "Введите число: ";
  std::cin >> number;

  if (isPrime(number)) {
    std::cout << number << " - простое число" << std::endl;
  } else {
    std::cout << number << " - не простое число" << std::endl;
  }

  return 0;
}

Теперь давайте разберемся с "Big O" - обозначение сложности алгоритма. В данном случае у нас имеется цикл, который перебирает числа от 2 до корня из проверяемого числа (sqrt(n)). Таким образом, количество операций, которые нужно выполнить, пропорционально корню из числа n.

Следовательно, сложность данного алгоритма можно записать как O(sqrt(n)). То есть, время выполнения алгоритма растет пропорционально квадратному корню из значения числа, которое нам нужно проверить на простоту.

Отметим, что в худшем случае алгоритм будет проверять все числа от 2 до sqrt(n), что может занять много времени для больших значений n. Однако, данный алгоритм является одним из самых простых и на практике может быть достаточно эффективен для большинства случаев проверки чисел на простоту.