Для вычисления значения интеграла (int frac{{sin(t)}}{{t}} dt) как сумму (M) членов ряда, мы можем использовать численные методы интегрирования. Одним из таких методов является метод прямоугольников.
Метод прямоугольников основан на разбиении области интегрирования на (M) равных частей и вычислении суммы площадей прямоугольников, на которые разделены эти части.
Шаги выполнения для вычисления значения интеграла методом прямоугольников со сближением на (M) частей следующие:
1. Разделите область интегрирования на (M) равных частей. Для этого можно использавать формулу (h = frac{{b - a}}{M}), где (a) и (b) - пределы интегрирования, а (h) - шаг.
2. Вычислите сумму площадей прямоугольников. Для каждого прямоугольника площадь можно вычислить как (S_i = f(x_i) cdot h), где (f(x_i)) - значение подынтегральной функции в точке (x_i), которую можно получить как (frac{{sin(t_i)}}{{t_i}}), а (t_i) - значение переменной (t) в середине (i)-го прямоугольника.
3. Сложите площади всех прямоугольников, чтобы получить приближенное значение интеграла: (I_M = sum_{i=1}^{M} S_i).
4. При достаточно малом (M) полученное приближение будет давать неплохую точность значения интеграла. Однако, чтобы получить еще лучший результат, можно увеличить число частей (M) и повторить вычисления.
Важно отметить, что при применении численных методов интегрирования возможна погрешность в вычисленных значениях, особенно для функций с сильными изменениями или осцилляциями, как в данном случае синуса.
Поэтому, для более точного вычисления интеграла, можно использовать более сложные численные методы, такие как метод трапеций или метод Симпсона. Эти методы позволяют учитывать не только значения функции в серединах прямоугольников, но также в их концах.