Как запрограммировать построение мультипликативной группы по неприводимому многочлену?

Для начала, давайте определимся с тем, что такое мультипликативная группа по неприводимому многочлену в контексте C++.

Множество мультипликативной группы по неприводимому многочлену является набором вычетов, на которых определены операции сложения и умножения, и эти операции соответствуют математическим операциям сложения и умножения в поле конечных вычетов.

Алгоритм построения мультипликативной группы включает несколько шагов:

1. Сначала, мы должны выбрать неприводимый многочлен. Неприводимый многочлен - это многочлен, который нельзя разложить на множители более низкой степени. В контексте C++, мы можем представить неприводимый многочлен с помощью коэффициентов его членов.

2. Затем, нам нужно определить поле конечных вычетов. Поле конечных вычетов - это набор всех вычетов относительно модуляра неприводимого многочлена. В C++, мы можем представить поле конечных вычетов с помощью класса или структуры, который содержит некоторое количество данных, таких как коэффициенты членов многочлена и модуляр.

3. Далее, мы можем определить операции сложения и умножения на множестве полей конечных вычетов. Операция сложения будет производиться покомпонентно путем сложения соответствующих членов многочленов, а операция умножения будет выполняться путем умножения многочленов с последующим применением алгоритма деления для сокращения степени результата.

4. Наконец, мы можем создать функции или классы, которые будут выполнять операции сложения и умножения между полем конечных вычетов и элементами этого поля.

Вот пример кода на C++ для построения мультипликативной группы по неприводимому многочлену:

#include<iostream>
#include<vector>

// Определение поля конечных вычетов
struct FiniteField {
    std::vector<int> coefficients; // Коэффициенты членов многочлена
    int modulo; // Модуль

    FiniteField(std::vector<int> coeffs, int mod) : coefficients(coeffs), modulo(mod) {}
}; 

// Определение операций сложения и умножения в поле конечных вычетов
FiniteField add(const FiniteField& a, const FiniteField& b) {
    std::vector<int> resultCoeffs;
    int degreeA = a.coefficients.size();
    int degreeB = b.coefficients.size();
    int degreeResult = std::max(degreeA, degreeB);

    for (int i = 0; i < degreeResult; i++) {
        int coeffA = (i < degreeA) ? a.coefficients[i] : 0;
        int coeffB = (i < degreeB) ? b.coefficients[i] : 0;
        resultCoeffs.push_back((coeffA + coeffB) % a.modulo);
    }

    return FiniteField(resultCoeffs, a.modulo);
}

FiniteField multiply(const FiniteField& a, const FiniteField& b) {
    std::vector<int> resultCoeffs(a.coefficients.size() + b.coefficients.size() - 1, 0);
  
    for (int i = 0; i < a.coefficients.size(); i++) {
        for (int j = 0; j < b.coefficients.size(); j++) {
            resultCoeffs[i + j] += (a.coefficients[i] * b.coefficients[j]) % a.modulo;
            resultCoeffs[i + j] %= a.modulo;
        }
    }

    return FiniteField(resultCoeffs, a.modulo);
}

// Пример использования
int main() {
    std::vector<int> coeffsA = {1, 1, 0, 1}; // Пример неприводимого многочлена x^3 + x^2 + 0x + 1
    int moduloA = 2; // Пример значения модуля

    FiniteField a(coeffsA, moduloA);

    FiniteField b = multiply(a, a); // Пример умножения в поле конечных вычетов

    std::cout << "Multiplication result: ";
    for (int i = 0; i < b.coefficients.size(); i++) {
        std::cout << b.coefficients[i] << " ";
    }
  
    return 0;
}

В этом коде мы определяем структуру FiniteField, которая представляет поле конечных вычетов. Затем мы определяем функции add и multiply, которые выполняют операции сложения и умножения между элементами полей конечных вычетов. В функции main мы создаем переменную a с помощью FiniteField, указываем неприводимый многочлен и значение модуля, а затем умножаем a на себя с помощью функции multiply и выводим результат.

Очевидно, что приведенный выше код приведен только для иллюстрации и может быть доработан и оптимизирован в зависимости от ваших конкретных потребностей. Однако он демонстрирует основные шаги алгоритма построения мультипликативной группы по неприводимому многочлену в C++.